GRUPO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

MACROS Y CAJAS NEGRAS

MARÍA DEL CARMEN OBREGÓN MOSQUERA

Macros y CAJAS NEGRAS

INTRODUCCIÓN

Son múltiples las investigaciones que dan cuenta del papel que juegan en la educación matemática, los SGD[1], sus ventajas y los cuidados que se deben tener. Entre sus aportes se enumera el hecho de poder explorar problemas, desarrollando múltiples estrategias de solución, conjeturar sobre propiedades matemáticas y validarlas.

En el currículo de Matemáticas se reconoce la resolución de problemas como uno de los procesos de gran importancia no sólo para el aprendizaje de conceptos matemáticos sino también para el desarrollo de habilidades de argumentación y razonamiento. Es en este sentido que observar el proceso de cómo un individuo resuelve problemas es de gran relevancia tanto para investigadores como para los docentes y constituye el escenario ideal para el trabajo en Ambientes de Geometría Dinámica.

Este trabajo se enmarca dentro del proceso de Resolución de Problemas, donde se busca observar de manera sistemática[2], las estrategias usadas por los estudiantes cuando se enfrentan a problemas, que en este caso, se presentan por medio de Cajas Negras en ambientes de geometría dinámica.

Marco conceptual

Resolución de Problemas

La actividad matemática implica que los individuos encuentren sentido a las ideas que ésta presenta. Mientras se hace matemáticas, es frecuente que se busquen patrones y relaciones, se comuniquen resultados, se usen métodos producto de la experiencia, se prueben conjeturas, se estimen resultados y se trabaje en grupo. En dicho contexto, se hace necesario que estas ideas se vean reflejadas en el salón de clases. Es decir, es relevante que la enseñanza de las matemáticas sea un medio a través del cual los estudiantes construyan su propio conocimiento y encuentren sentido a las ideas que el saber matemático pone a su alcance.

Es así, como el tipo de actividades o problemas que se presenten a los estudiantes juega un papel primordial en el aprendizaje de esta disciplina proponer problemas que posibiliten y fortalezcan en los estudiantes la oportunidad de conectar ideas matemáticas, así como valorar y razonar las estrategias que aparezcan durante el proceso de solución.

En este sentido, el enfocar el aprendizaje de las matemáticas en la resolución de problemas, hace posible que los estudiantes se involucren en actividades similares a las que los matemáticos realizan al trabajar en esta disciplina. De esta manera, los problemas se convierten en el medio a través del cual los estudiantes pueden discutir y defender sus ideas, examinar el potencial de cierto modo de solución, utilizar argumentos matemáticos que brinden soporte a sus conjeturas, o proponer contraejemplos que contradigan algún resultado.

¿Qué es un Problema?

Es común encontrar que se relaciona la palabra problema con una tarea difícil, sin embargo, dicha dificultad es relativa y está ligada al esfuerzo que realiza un individuo cuando intenta resolverlo, es decir, mientras que para algunos estudiantes puede representar un gran esfuerzo intentar resolver un problema para otros puede ser un simple ejercicio rutinario.

Por tal motivo, se puede entender por problema a aquellos enunciados que involucran varios métodos de solución y que no sólo requieren de una simple aplicación de reglas, fórmulas o algoritmos para resolverlos, además éstos pueden constituirse en un recurso natural para discutir actividades que ejemplifiquen el uso de conjeturas, contraejemplos, aproximaciones y en general estrategias de carácter cognoscitivo y de monitoreo. Contrario a lo que comúnmente reflejan los ejercicios encontrados en los libros de texto que se identifican más con el empleo de procesos mecanizados o de memorización.

Cajas Negras y SGD.

Usualmente el término Caja Negra es utilizado en las ciencias naturales para referirse a un mecanismo desconocido, mediante el cual con sólo algunas acciones iniciales se desencadenan algunos procesos que concluyen en un resultado final (Ver Figura 1). En muchos casos, algunas de las labores del científico son descifrar éstos mecanismos, es decir, “revelar los secretos de la Caja Negra”.

La naturaleza, es un inmenso banco de cajas negras para los científicos, que mediante experimentos, análisis, y otros tratamientos aclaran los procesos que surgen en su interior y que en diversas ocasiones los llevan a van consolidar conocimientos de la ciencia. Por ejemplo: La teoría cinética de los gases, antes de ser trabajada por personajes como Boyle, Guy Lussac o Charles, se comportaba como una caja negra, en la cual las acciones iniciales podían ser: cambios de temperatura, para obtener como resultado, cambios de volumen o presión; o cambios en el volumen, para conseguir cambios en la presión o temperatura del gas. Mediante hipótesis, experiencias y análisis, los científicos han logrado dar cuenta de cómo funciona esta caja negra, es decir, explican el comportamiento de las partículas atómicas que constituyen los gases, y lo resumen mediante una expresión: P · V = n · K_b · T, Donde P es la presión, V es el volumen, T es la temperatura y K_b es la constante de Boltzman.

Es claro que, al ser el mecanismo de una caja negra desconocido, puede constituirse en un problema para quien intenta descifrarla. Entonces, ¿Por qué no incluir la idea de caja negra en la Educación Matemática?. Algunos autores han trabajado al respecto, y plantean realizar este trabajo con entornos de Geometría Dinámica, por su carácter dinámico y la ejecutabilidad de las representaciones en los programas, ya que permiten el reconocimiento de patrones e invariantes, produciendo en el estudiante procesos de razonamiento, mediante conjeturas y validaciones o refutaciones de éstas. Además una característica principal de los SGD es la capacidad de realizar MACROS (macro-construcciones) que, permiten automatizar y agilizar ciertas construccio­nes.

Al definir y/o aplicar una macro-construcción o macro sólo es necesario tener en cuenta las construcciones iniciales y las finales, por lo tanto es posible ver que un macro se comporta de manera similar a una caja negra, pues ante un macro desconocido, sólo se debe saber que datos son los iniciales (datos de entrada) y una vez aplicado el macro a pesar de ser desconocido, es posible observar los datos de salida. Entonces se propone un modelo homónimo para éste campo de la educación, (Figura 2).

Es de notar que cualquier macro puede ser visto como una caja negra, pero a la hora de llevar actividades con cajas negras al aula de clase, éstos macros deben ser diseñados con unos propósitos didácticos específicos, es decir, tener una finalidad bien definida.

Metodología

Treinta estudiantes de 3^er semestre de pregrado de Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas de la Universidad del Valle participaron de la actividad, distribuidos en parejas, cada pareja dispuso de un computador con el software Regla y Compás y los archivos de tres macros (Cajas negras –caja1.mcr, caja2.mcr, caja3.mcr– ), cada pareja de estudiantes trabajó cada caja negra en una sesión de 3.5 horas para la caja1, y otra sesión de un total de 3.5 horas, 1 hora para la caja2, 2 horas para la caja3 y como actividad final se propuso crear una caja negra, para lo cual se usó el tiempo restante de la última sesión. Hubo una sesión preliminar a modo de inducción, donde se trabajó la creación de macros en el software, para que no hubiera problemas con el desarrollo de las actividades propuestas.

Las indicaciones para las 3 cajas negras fue la misma:

1. Inicie el programa “Regla y Compás” y abra el archivo de macro “cajaN.mcr”.
2. Construya –objetos iniciales, diferentes para cada macro. Y aplíqueles el macro “cajaN.mcr”.
3. Explique: ¿Qué aparece?, cuando se mueven los –objetos iniciales– ¿qué relaciones permanecen?. Escribe todas tus observaciones.
4. Intenta reproducir el macro.

Para la última actividad las indicaciones fueron:

1. Realice una construcción geométrica.

2. Teniendo en cuenta los objetos iniciales (parámetros) y los objetos finales (objetivos), defina el macro de su construcción geométrica.

3. Guarde el archivo de macro.

Resultados.

En el desarrollo de las actividades de las cajas negras, los estudiantes tardaron un poco en observar las relaciones que permanecen durante el arrastre de los objetos iniciales. Sin embargo, después de algunos minutos, realizaban comentarios como:

“Es como si la recta huyera del punto” (desarrollo de la caja1)

“Creo que la recta es el reflejo del primer punto, además el segundo punto siempre está en la mitad.” (desarrollo de la caja1)

“la recta es perpendicular a los puntos...” (desarrollo de la caja1)

En el desarrollo de la actividad de la primer caja negra la mayoría de los grupos de estudiantes estuvieron explorando las relaciones invariantes de la caja negra mediante el arrastre. Sólo un grupo tuvo la iniciativa de realizar construcciones auxiliares sobre los objetos representados en la pantalla del computador. Y realizaron la sugerencia a sus compañeros que emplearan las funciones del software, como rectas, circunferencias, para que pudieran observar mejor sus relaciones.

Solo hasta entonces avanzaron, en sus observaciones:

“La recta es perpendicular a la recta que pasa por los puntos iniciales... y el segundo punto es... se mantiene siempre en la mitad.” (desarrollo de la caja1)

“si trazo una circunferencia con centro en el segundo punto... la recta es perpendicular al diámetro de la circunferencia, a no, no.... la recta es tangente a la circunferencia.” (desarrollo de la caja1)

Ya en el desarrollo de las siguientes cajas negras abordaban su exploración construyendo rectas y circunferencias. Dos grupos afirmaron que:

[Para el descubrir el mecanismo de las Cajas negras] …es necesario siempre construir circunferencias, y algunas veces rectas.

Aprovechando esta afirmación se hizo un paréntesis en el desarrollo de la actividad, para discutir, a lo cual como se llego al consenso de que:

• Las circunferencias se utilizan para trasladar medidas.
• También para mantener objetos equidistantes.
• Las rectas se usan para la colinealidad.

Dichos estamentos permitieron abordar de forma más fácil la solución de las otras cajas negras. La mayoría de los grupos de estudiantes resolvieron de forma exitosa las cajas negras propuestas.

En el desarrollo de la última actividad, crear su propio macro, la mayoría de los grupos de estudiantes recurrieron a la construcción euclidiana del triangulo equilátero, con algunas variaciones: Algunos utilizaron los dos triángulos que se pueden formar definiendo como parámetro el segmento inicial y como objetivos el punto de intersección superior y uno de los lados del triángulo inferior, en algunos casos; los dos puntos de intersección tanto el superior como el inferior, en otros casos; algunos definieron como objetivo la construcción completa.

Sólo un grupo realizó una construcción distinta:

• A partir de un segmento se construye el triángulo equilátero, se ubica un punto en su interior, y a partir de él se trazan las perpendiculares a cada lado. Se señalan los puntos de intersección en cada lado y se define el macro. Los parámetros son el segmento y un punto exterior a él; los objetivos del macro son los 3 puntos de intersección del triángulo y las rectas perpendiculares.

Conclusiones

Observando el bloqueo que tuvo la mayoría de los grupos de estudiante al descubrir el funcionamiento de la caja1.mcr, se puede afirmar que los estudiantes de la Licenciatura de Educación Básica de 3^er semestre no están familiarizados las estrategias de resolución de problemas, más aún, con problemas en los cuales se requiere como solución una construcción geométrica.

A pesar de que, en algunos casos observaban equidistancia no utilizaron la propiedad del software que les permitía tomar medidas para argumentarlo, y sólo la pudieron explicar hasta después de la discusión, cuando se dijo que las circunferencias permitían conservar longitudes.

Este tipo de actividades permite poner en evidencia propiedades relevantes de los objetos geométricos, y fomenta la discusión sobre las mismas, favoreciendo así el desarrollo de un lenguaje de argumentación más preciso.

Bibliografía

ACOSTA, Martín Eduardo. Macro Construcciones y Cajas Negras en el Programa de Geometría. MEN. Memorias del Seminario Nacional. Formación de Docente sobre el uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemática. Capítulo 1, p. 13-17. Santafé de Bogotá: Enlace Editores Ltda., 2001 – 2002.

SANTOS T., Luz Manuel. Principios y métodos en la resolución de problemas en la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. Capítulo 7 Actividades instruccionales en la resolución de problemas”. Grupo Editorial Iberoamérica S.A.M. México. 1997.

Anexos

Construcción de los Macros

Caja1.mcr

• Se construyen como objetos iniciales o parámetros, dos puntos.
• Se traza la recta que une los dos puntos.
• Con centro en uno de los puntos, y radio la distancia entre los puntos se traza una circunferencia.
• Por el punto de intersección que se genera, se traza una recta perpendicular a la recta que pasa por los puntos iniciales.
• Se crea el macro caja1.mcr, definiendo como parámetros los dos puntos, y como objetivo la recta perpendicular.

Caja2.mcr

• Se construyen como objetos iniciales o parámetros, un segmento y un punto sobre él.
• Se traza la recta perpendicular al segmento por el punto sobre el segmento.
• Con centro en el punto medio del segmento, y radio la mitad de la longitud del segmento se traza una circunferencia.
• Se traza el punto de intersección que se genera entre la recta perpendicular al segmento y la circunferencia.
• Se traza el segmento que va desde el punto sobre el segmento, hasta el punto de intersección entre la recta perpendicular y la circunferencia
• Se crea el macro caja2.mcr, definiendo como parámetros el segmento y el punto sobre él, y como objetivo el segmento sobre la recta perpendicular.

Caja3.mcr

• Se construyen como objetos iniciales o parámetros, un segmento y un punto exterior a él.
• Se trazan las rectas que unen los extremos del segmento con el punto exterior a él.
• Con centro en los extremos del segmento, y radio la longitud desde cada extremo del segmento hasta el punto exterior se trazan dos circunferencias.
• Se trazan los puntos de intersección que se generan entre las rectas y las circunferencias.
• Se crea el macro caja3.mcr, definiendo como parámetros el segmento y el punto exterior a él, y como objetivos los puntos de intersección que se generan entre las rectas y las circunferencias.

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[1] SGD: (Dynamic Geometry Systems) Los Sistemas de Geometría Dinámica: (Cabri-Géomètre, Geometer's Sketchpad, The Geometry Inventor, The Geometric Supposers, etc.), se caracterizan por poseer una pantalla gráfica sobre la que el usuario puede dibujar objetos geométricos primitivos (puntos, rectas, segmentos, etc.) y registrar relaciones geométricas entre ellos (perpendicularidad, paralelismo, etc.) además el trazo de lugares geométricos. Estas acciones producen construcciones geométricas en las que algunos objetos pueden ser seleccionados por el usuario y “arrastrados” por la pantalla, manteniendo las relaciones geométricas establecidas en la construcción. GONZÁLEZ - LÓPEZ, M. J. La gestión de la clase de geometría utilizando sistemas de geometría dinámica. Disponible en http://cumbia.ath.cx/ugr/phmc/publicacion.htm.

[2] Refiriéndose a sistematización como la descripción, clasificación y análisis de experiencias observadas.